最小二乘估計教學方案

　　教學目標：1、掌握最小二乘法的思想

　　2、能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程

　　教學重點：最小二乘法的思想

　　教學難點：線性回歸方程系數公式的應用

　　教學過程

　　回顧：上節(jié)我們討論了人的身高與右手一?長之間的線性關系，用了很多種方法刻畫這種線性關系，但是這些方法都缺少數學思想依據。

　　問題1、用什么樣的線性關系刻畫會更好一些？

　　想法：保證這條直線與所有點都近（也就是距離最�。�。

　　最小二乘法就是基于這種想法。

　　問題2、用什么樣的方法刻畫點與直線的距離會方便有效？

　　設直線方程為y=a+bx，樣本點A（xi，yi）

　　方法一、點到直線的距離公式

　　方法二、

　　顯然方法二能有效地表示點A與直線y=a+bx的距離，而且比方法一更方便計算，所以我們用它表示二者之間的接近程度。

　　問題3、怎樣刻畫多個點與直線的接近程度？

　　例如有5個樣本點，其坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）與直線y=a+bx的接近程度：

　　從而我們可以推廣到n個樣本點：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）與直線y=a+bx的接近程度：

　　使得上式達到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法

　　問題4、怎樣使 達到最小值？

　　先討論3個樣本點的情況

　　設有3個點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個點的接近程度由下面表達式刻畫：

　　整理成為關于a的一元二次函數 ，如下所示：

　　利用配方法可得

　　從而當 時，使得函數 達到最小值。

　　將 代入①式，整理成為關于b的一元二次函數 ，

　　同樣使用配方法可以得到，當

　　時，使得函數 達到最小值。

　　從而得到直線y=a+bx的系數a，b，且稱直線y=a+bx為這3個樣本點的線性回歸方程。

　　用同樣的方法我們可以推導出n個點的線性回歸方程的系數：

　　其中

　　由 我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過 。

　　例題與練習

　　例1 在上一節(jié)練習中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數（y）與當天氣溫（x）之間是線性相關的。數據如下表

　　氣溫（xi）／oC261813104-1

　　杯數（yi）／杯202434385064

　　（１）試用最小二乘法求出線性回歸方程。

　�。ǎ玻┤绻�某天的氣溫是－3 oC，請預測可能會賣出熱茶多少杯。

　　解：（1）先畫出其散點圖

　　ixiyixi2xiyi

　　12620676520

　　21824324432

　　31334169442

　　41038100380

　　545016200

　　6－1641－64

　　合計7023012861910

　　可以求得

　　則線性回歸方程為

　　y =57.557－1.648x

　�。�2）當某天的氣溫是－3 oC時，賣出熱茶的杯數估計為：

　　練習1 已知x，y之間的一組數據如下表，則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經過點 ( D )

　　x0123

　　y1357

　�。ˋ）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4）

　　練習2 某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：

　　商店名稱ABCDE

　　銷售額（x）/千萬元35679

　　利潤額（y）/百萬元23345

　�。ǎ保┊嫵鲣N售額和利潤額的散點圖；

　�。ǎ玻┤翡N售額和利潤額具有相關關系，計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程。

　　解：（1）

　�。�2）數據如下表：

　　ixiyixi2xiyi

　　13296

　　2532515

　　3633618

　　4744928

　　5958145

　　合計3017200112

　　可以求得b=0.5，a=0.4

　　線性回歸方程為：

　　小結

　　1、最小二乘法的思想

　　2、線性回歸方程的系數：

　　作業(yè)：P60 習題1－8 第1題

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