多邊形內角的求解技巧

　　1、多邊形的每個內角與和它相鄰的外角互為補角。這個條件在題目中一般不會作為已知條件給出，因此，在解題時應根據需要加以利用。

　　例1 一個正多邊形的每個內角都比與它相鄰的外角的3倍還多20°，求此正多邊形的邊數。

　　分析：由于這個正多邊形的每個外角與和它相鄰的內角互為鄰補角，根據題意，可先求出外角的大小，再求邊數。

　　解：設每個外角的大小為x°，則與它相鄰的內角的大小為(3x+20)度。根據題意，得

解得

，即每個外角都等于40°。所以

，即這個正多邊形的邊數為9。

　　2、利用多邊形內角和公式求多邊形的邊數時，經常設邊數為n，然后列出方程或不等式，利用代數方法解決幾何問題。

　　例2 已知一個多邊形的每個內角都等于135°，求這個多邊形的邊數。

　　解法1：設多邊形的邊數為n，依題意，得

　　解得n=8，即這個多邊形的邊數為8。

　　解法2：依題意知，這個多邊形的每個外角是180°-135°=45°。

所以，多邊形的邊數

，即這個多邊形的邊數為8。

　　3、正多邊形各內角相等，因此各外角也相等。有時利用這種隱含關系求多邊形的邊數，比直接利用內角和求邊數簡捷(如上題解法2)。解題時要注意這種逆向思維的運用。

　　例3 一個多邊形除去一個內角后，其余內角之和是2570°，求這個多邊形的邊數。

　　分析：從已知條件可知這是一個與多邊形內角和有關的問題。由于除去一個內角后，其余內角之和為2570°，故該多邊形的內角和比2570°大。又由相鄰內、外角間的關系可知，內角和比2570°+180°小�？闪谐鲫P于邊數n的不等式，先確定邊數n的范圍，再求邊數。

　　解：設這個多邊形的邊數為n，則內角和為(n-2)·180°。依題意，得

解這個不等式，得

。

　　所以n=17，即這個多邊形的邊數為17。

　　說明：這類題都隱含著邊數為正整數這個條件。

　　4、把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形是研究不規(guī)則圖形的常用方法，其解題關鍵是構造合適的圖形。

　　例4 如圖1，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。

　　圖1

　　分析：解題關鍵是把該圖形與凸多邊形聯系起來，從而利用多邊形內角和定理來解決，因此可考慮連接CF。

　　解：連接CF。

　　∵∠COF=∠DOE

　　∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC

　　∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

　　=∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

　　=(5-2)×180°

　　=540°

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