應(yīng)用性試題的類型及解題思路

時間：2022-10-26 07:11:15 學(xué)習(xí)方法我要投稿

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應(yīng)用性試題的類型及解題思路

　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展。”為落實這一理念，近年來數(shù)學(xué)中考加強了對應(yīng)用意識及解決實際問題能力的考查，其份量有越來越重的趨勢。應(yīng)用問題有多種類型，下面著重展示如下六種應(yīng)用性試題，并對其解題思路加以分析。

應(yīng)用性試題的類型及解題思路

　　一、方程(組)應(yīng)用題

　　這類問題是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的最基本的問題，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、更清晰地認(rèn)識、描述和把握現(xiàn)實世界。諸如行程、增長率、儲蓄、利息、稅率、工程施工及勞力分配等問題，都可以通過列方程(組)來解決。

　　例1. 某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳，經(jīng)過測試：同時開放1個大餐廳、2個小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐：同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐。

　　(1)求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐;

　　(2)若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學(xué)生就餐?請說明理由。

　　解：(1)設(shè)1個大餐廳可供x名學(xué)生就餐，1個小餐廳可供y名學(xué)生就餐，根據(jù)題意

得解這個方程組，得

　　所以1個大餐廳可供960名學(xué)生就餐，1個小餐廳可供360名學(xué)生就餐。

(2)因為，所以如果同時開放7個餐廳，能夠供全校的5300名學(xué)生就餐。

　　二、不等式(組)應(yīng)用題

　　生活中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多現(xiàn)實問題很難確定具體的數(shù)值，但可以求出或確定某個量的變化范圍，從而對所研究的問題有一個比較清楚的認(rèn)識。市場營銷、生產(chǎn)決策和社會生活中有關(guān)統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化等問題常用不等式(組)應(yīng)用題來解決。

　　例2. 市“康智”牛奶乳業(yè)有限公司經(jīng)過市場調(diào)研，決定從明年起對甲、乙兩種產(chǎn)品實行“限量生產(chǎn)”，要求這兩種產(chǎn)品全年共新增產(chǎn)量20件，這20件的總產(chǎn)值p(萬元)滿足;110。已知有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，那么該公司明年應(yīng)怎樣安排新增產(chǎn)品的產(chǎn)量?

解：設(shè)該公司安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品x件，那么生產(chǎn)新增乙產(chǎn)品件，由題意，得。解這個不等式組，得依題意，得當(dāng) 時，當(dāng) 時，當(dāng) 時，

　　所以該公司明年可安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品11件，乙產(chǎn)品9件;或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品12件，乙產(chǎn)品8件;或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品13件，乙產(chǎn)品7件。

　　三、函數(shù)應(yīng)用題

　　函數(shù)反映了事物間的廣泛聯(lián)系，提示了現(xiàn)實世界眾多的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，日常生活中的許多問題，諸如造價成本最低、生產(chǎn)利潤最大、風(fēng)險決策、股市期貨、開源節(jié)流、扭虧增盈、方案最優(yōu)化等問題的研究，都可以通過建立函數(shù)關(guān)系來解決。

　　例3. 甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠，所挖河渠的長度y(m)與挖掘時間x(h)之間的關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖像所提供的信息解答下列問題：

　　(1)乙隊開挖到30m時，用了____________________________h。開挖6h時甲隊比乙隊多挖了____________________________m;

　　(2)請你求出：

①甲隊在的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; ②乙隊在的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

　　(3)當(dāng)x為何值時，甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等?

　　解：(1)2，10;

(2)設(shè)甲隊在的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式

　　由圖可知，函數(shù)圖像過點(6，60)

解得設(shè)乙隊在的時段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

　　由圖可知，函數(shù)圖像過點(2，30)、(6，50)

解得 (3)由題意，得

　　解得x=4(h)

　　∴當(dāng)x為4h時，甲、乙兩隊所挖的河渠長度相等。

　　四、幾何應(yīng)用題

　　幾何應(yīng)用題圖文并茂，貼近人類生活經(jīng)驗和實驗需要，如零件加工、殘輪修復(fù)、工程選點定位、裁剪方案、美化設(shè)計、道路拱橋計算等實際問題中都涉及一定的圖形知識，在解決這些問題時，我們通常要抓住圖形的幾何性質(zhì)，將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來進行解決。

　　例4. 本市新建的滴水湖是圓形人工湖。為測量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A、B、C三根木柱，使得A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，并測得BC長為240米，A到BC的距離為5米，如圖所示。請你幫他們求出滴水湖的半徑。

　　解：設(shè)圓心為點O，連結(jié)OB、OA，OA交線段BC于點D

　　因為AB=AC

　　所以O(shè)A⊥BC

且

　　由題意，DA=5

　　利用勾股定理易求出OB=1442.5

　　所以滴水湖的半徑為1442.5

　　五、統(tǒng)計應(yīng)用題

　　統(tǒng)計的內(nèi)容具有非常豐富的實際背景，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，要求學(xué)生學(xué)會如何收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)，深刻理解用樣本估計整體的基本統(tǒng)計思想，掌握描述數(shù)據(jù)集中趨勢和離散程度的兩類基本統(tǒng)計量，并能夠靈活計算。

　　例5. 為了迎接全市中考，某中學(xué)對全校初三男生進行了立定跳遠(yuǎn)項目測試，并從參加測試的500名男生中隨機抽取了部分男生的測試成績(單位：米，精確到0.01米)作為樣本進行分析，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖(每組含最低值，不含最高值)，已知圖中從左到右每個小長方形的高的比依次為2：4：6：5：3，其中1.80~2.00這一小組的頻數(shù)為8，請根據(jù)有關(guān)信息解答下列問題：

　　(1)填空：這次調(diào)查的樣本容量為______________________，2.40~2.60這一小組的頻率為_____________________。

　　(2)請指出樣本成績的中位數(shù)落在哪一小組內(nèi)，并說明理由。

　　(3)樣本中男生立定跳遠(yuǎn)的人均成績不低于多少米?

　　(4)請估計該校初三男生立定跳遠(yuǎn)成績在2.00米以上(包括2.00米)的約有多少人?

　　解：(1)40，0.15

　　(2)∵各小組的頻數(shù)分別為：

，，，，

　　而中位數(shù)是40個成績從小到大排列后第20個數(shù)據(jù)和第21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

　　∴中位數(shù)落在2.00~2.20這一小組內(nèi)

　　(3)設(shè)樣本人均成績最低值為x，則

　　∴樣本中男生立定跳遠(yuǎn)的人均成績不低于2.03米。

(4) (人)