數(shù)列求和方法總結(jié)

　　總結(jié)是事后對某一階段的學(xué)習(xí)或工作情況作加以回顧檢查并分析評價的書面材料，它可以幫助我們有尋找學(xué)習(xí)和工作中的規(guī)律，因此我們需要回頭歸納，寫一份總結(jié)了�？偨Y(jié)你想好怎么寫了嗎？下面是小編為大家收集的數(shù)列求和方法總結(jié)，歡迎閱讀與收藏。

　　數(shù)列求和方法總結(jié) 1

　　等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

　　基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示;

　　項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示;

　　公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的'差，一般用d表示;

　　通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示;

　　數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

　　基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1，an，d，n，sn，通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個;求和公

　　式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

　　基本公式：通項公式：an=a1+(n-1)d;

　　通項=首項+(項數(shù)一1)公差;

　　數(shù)列和公式：sn，=(a1+an)n2;

　　數(shù)列和=(首項+末項)項數(shù)2;

　　項數(shù)公式：n=(an+a1)d+1;

　　項數(shù)=(末項-首項)公差+1;

　　公差公式：d=(an-a1))(n-1);

　　公差=(末項-首項)(項數(shù)-1);

　　關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式。

　　數(shù)列求和方法總結(jié) 2

　　（1）知識結(jié)構(gòu)

　�。�2）重點、難點分析

　�、俳虒W(xué)重點是等差數(shù)列的定義和對通項公式的認(rèn)識與應(yīng)用，等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性、也是本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確反映和高度概括，準(zhǔn)確把握定義是正確認(rèn)識等差數(shù)列，解決相關(guān)問題的前提條件。通項公式是項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是研究一個數(shù)列的重要工具，等差數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式密切相關(guān)，通過函數(shù)圖象研究數(shù)列性質(zhì)成為可能。

　�、谕ㄟ^不完全歸納法得出等差數(shù)列的'通項公式，所以是教學(xué)中的一個難點；另外， 出現(xiàn)在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量。由于一個公式中字母較多，學(xué)生應(yīng)用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學(xué)的有一難點。

　　（3）教法建議

　�、俦竟�(jié)內(nèi)容分為兩課時，一節(jié)為等差數(shù)列的定義與表示法，一節(jié)為等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用．

　�、诘炔顢�(shù)列定義的引出可先給出幾組等差數(shù)列，讓學(xué)生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學(xué)生嘗試說出等差數(shù)列的定義，對程度差的學(xué)生可以提示定義的結(jié)構(gòu)：“……的數(shù)列叫做等差數(shù)列”，由學(xué)生把限定條件一一列舉出來，為等比數(shù)列的定義作準(zhǔn)備．如果學(xué)生給出的定義不準(zhǔn)確，可讓學(xué)生研究討論，用符合學(xué)生的定義但不是等差數(shù)列的數(shù)列作為反例，再由學(xué)生修改其定義，逐步完善定義．

　�、鄣炔顢�(shù)列的定義歸納出來后，由學(xué)生舉一些等差數(shù)列的例子，以此讓學(xué)生思考確定一個等差數(shù)列的條件．

　�、苡蓪W(xué)生根據(jù)一般數(shù)列的表示法嘗試表示等差數(shù)列，前提條件是已知數(shù)列的首項與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據(jù)圖像觀察項隨項數(shù)的變化規(guī)律；再看通項公式，項 可看作項數(shù) 的一次型（ ）函數(shù)，這與其圖像的形狀相對應(yīng)．

　�、萦懈F等差數(shù)列的末項與通項是有區(qū)別的，數(shù)列的通項公式 是數(shù)列第 項 與項數(shù) 之間的函數(shù)關(guān)系式，有窮等差數(shù)列的項數(shù)未必是 ，即其末項未必是該數(shù)列的第 項，在教學(xué)中一定要強調(diào)這一點．

　�、薜炔顢�(shù)列前 項和的公式推導(dǎo)離不開等差數(shù)列的性質(zhì)，所以在本節(jié)課應(yīng)補充一些重要的性質(zhì)；另外可讓學(xué)生研究等差數(shù)列的子數(shù)列，有規(guī)律的子數(shù)列會引起學(xué)生的興趣．

　�、叩炔顢�(shù)列是現(xiàn)實生活中廣泛存在的數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，如教材中的例題、習(xí)題等，還可讓學(xué)生去搜集，然后彼此交流，提出相關(guān)問題，自己嘗試解決，為學(xué)生提供相互學(xué)習(xí)的機會，創(chuàng)設(shè)相互研討的課堂環(huán)境．

　　數(shù)列求和方法總結(jié) 3

　　等比數(shù)列這個名詞是我們在數(shù)學(xué)中經(jīng)常會用到的一個名詞，我們在初中的時候就開始學(xué)習(xí)等比數(shù)列，但是在升入高中以后可能還是對這一個難題束手無策，在這里，小編就要教教大家如何用等比數(shù)列求和，攻克這一個數(shù)學(xué)難題!

　　一.等比數(shù)列求和的教學(xué)基礎(chǔ)

　　1.知識結(jié)構(gòu)

　　先用錯位相減法推出等比數(shù)列前項和公式，而后運用公式解決一些問題，并將通項公式與前項和公式結(jié)合解決問題，還要用錯位相減法求一些數(shù)列的前n項.

　　2.重點、難點分析

　　教學(xué)重點、難點是等比數(shù)列前 項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.公式的推導(dǎo)中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想、方法(如分類討論思想，錯位相減法等)，這些思想方法在其他數(shù)列求和問題中多有涉及，所以對等比數(shù)列前n項和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是掌握推導(dǎo)公式的方法.等比數(shù)列前n項和公式是分情況討論的，在運用中要特別注意 q=1和q=1兩種情況.

　　3.學(xué)習(xí)建議

　�、俦竟�(jié)內(nèi)容分為兩課時，一節(jié)為等比數(shù)列前 項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，一節(jié)為通項公式與前 項和公式的綜合運用，另外應(yīng)補充一節(jié)數(shù)列求和問題.

　�、诘缺葦�(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)是重點內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生觀察實例，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納總結(jié)，證明結(jié)論

　　③等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)的其他方法可以給出，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

　�、芫帞M例題時要全面，不要忽略 的情況.

　�、萃�項公式與前n項和公式的綜合運用涉及五個量，已知其中三個量可求另兩個量，但解指數(shù)方程難度大

　　⑥補充可以化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)列求和問題.

　　二、等比數(shù)列求和公式

　　一個數(shù)列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數(shù)，且數(shù)列中任何項都不為0，

　　即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)， 這個數(shù)列叫等比數(shù)列，其中常數(shù)q 叫作公比。

　　如： 2、4、8、16......2^10 就是一個等比數(shù)列，其公比為2， 可寫為 an=2×2^(n-1) 通項公式 an=a1×q^(n-1);

　　1.通項公式與推廣式

　　推廣式：an=am×q^(n-m) [^的意思為q的(n-m)次方];

　　2.求和公式

　　Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) S∞=a1/(1-q) (n-> ∞)(|q|<1) (q為公比，n為項數(shù))

　　3.等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)

　�、賁n=a1+a2+a3+...+an(公比為q)

　　②q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)

　�、跾n-q*Sn=a1-a(n+1)

　�、�(1-q)Sn=a1-a1*q^n

　　⑤Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

　�、轘n=(a1-an*q)/(1-q)

　　⑦Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

　　4性質(zhì) 簡介

　�、偃� m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq;

　�、谠诘缺葦�(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列; 等比數(shù)列的性質(zhì)

　�、廴鬽、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2;

　　④ 若G是a、b的等比中項，則G^2=ab(G ≠ 0);

　　⑤在等比數(shù)列中，首項a1與公比q都不為零

　　三.學(xué)習(xí)等比數(shù)列的方法

　　1知識與技能目標(biāo)

　　理解用錯位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的過程，掌握公式的特點，并在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題.

　　2.過程與方法目標(biāo)

　　通過對公式的研究過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì).

　　3.情感、態(tài)度與價值目標(biāo)

　　通過學(xué)生自主對公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，并從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的'嚴(yán)謹(jǐn)美.

　　4..教學(xué)重點、難點

　�、僦攸c：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及公式的簡單應(yīng)用. 突出重點的方法：“抓三線、突重點”，即一是知識技能線：問題情境→公 式推導(dǎo)→公式運用;二是過程方法線:從特殊、歸納猜想到一般→錯位相減法→數(shù)學(xué)思想;三是能力線：觀察能力→初步解決問題能力

　　.②難點：錯位相減法的生成和等比數(shù)列前n項和公式的運用. 突破難點的手段：“抓兩點，破難點”,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，并及時給予肯定;二抓知識的切入點，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點入手，教師在學(xué)生主體下給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo).

　　數(shù)列求和方法總結(jié) 4

　　一、分組轉(zhuǎn)化求和法

　　若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構(gòu)成，則求這個數(shù)列的前n項和Sn時可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項――重新分組――求和合并。

　　例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

　　解由和式可知，式中第n項為an=n（3n+1）=3n2+n

　　∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

　　=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

　　=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

　　=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

　　=n（n+1）2

　　二、奇偶分析求和法

　　求一個數(shù)列的前n項和Sn，如果需要對n進行奇偶性討論或?qū)⑵鏀?shù)項、偶數(shù)項分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。

　　例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　分析：觀察數(shù)列的通項公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項數(shù)n的奇偶性有關(guān)，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎(chǔ)上利用并項求和法求的結(jié)果。

　　解：當(dāng)n為偶數(shù)時，

　　Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

　　=-n2-n2+n2+n2=n

　　當(dāng)n為奇數(shù)時，

　　Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

　　=-n2+n2+n2-n2=-n

　　綜上所述，Sn=（-1）nn

　　三、并項求和法

　　一個數(shù)列an的前n項和Sn中，某些項合在一起就具有特殊的'性質(zhì)，因此可以幾項結(jié)合求和，再求Sn，稱之為并項求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項合并求解。如例3中可用并項求和法求解。

　　例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

　　解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

　　=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

　　四、基本公式法

　　如果一個數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項為自然數(shù)的平方、立方的，那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。

　　常用公式有

　�。�1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2

　�。�2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）

　�。�3）1+2+3+…+n=n（n+1）2

　�。�4）1+3+5+…+2n-1=n2

　�。�5）2+4+6+…+2n=n（n+1）

　�。�6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

　�。�7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2

　　例1：已知等比數(shù)列an的通項公式是an=12n-1，設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，求Sn。

　　解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12

　　∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1

　　五、裂項相消法

　　如果一個數(shù)列an的通項公式能拆分成兩項差的形式，并且相加過程中可以互相抵消至只剩下有限項時，這時只需求有限項的和，把這種求數(shù)列前n項和Sn的方法叫做裂項相消法。

　　裂項相消法中常用的拆項轉(zhuǎn)化公式有：

　�。�1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

　�。�2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

　　（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

　�。�4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），

　　其中n∈N，k∈R且k≠0

　　例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

　　解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）

　　∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n

　　=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）

　　=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）

　　=2（1-1n+1）=2nn+1

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